أمثلة أساسية على إعراب بعض الجمل

مسألة حول الدالة الأسيـــة

 f دالة معرفة على IR بــ: f(x)= (x-2)e× +2 و (Cf) تمثيلها البياني .
(1) أدرس تغيرات الدالة f
(2) أكتب معادلة للمماس (∆) للمنحنى (Cf) عند النقطة O
(3)أثبت أن المعادلة f(x)= 0 تقبل في المجال ]1,2[ حلا وحيد α 
(4) أرسم (Cf)

الإجابة:

(1) دراسة تغيرات الدالة f :

•مجموعة التعريف:
Df= ]-∞,+∞[

• حساب النهايات:
lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (xe× - 2e× +2) = 2
لأن :
lim x→-∞ xe× = 0
و
lim x→-∞ e× =0
______________________
lim x→+∞ f(x) = +∞
لأن :
lim x→+∞ e× = +∞
و
lim x→+∞ (x-2) =+∞

•إتجاه تغير الدالة :f
الدالة f فابلة للإشتقاق على IR و لدينا : f'(x) = (x-1) e×
إشارة e×(x-1) موضحة في الجدول التالي:

النقط الهامة في جدول التغيرات
x. -oo 1. +oo
x-1. __ o. +
e× +. I. +
f'(x). __ o. +
ومنه الدالة f متناقصة تماما على المجال [1،∞-[ و متزايدة تماما على المجال ]∞+،1].

• جدول تغيرات الدالة: f
x. -oo 1. +oo
f'(x) __ o. +
f(x). 2↓ 2-e↑ +∞

(2) كتابة معادلة للمماس (∆):
y=f'(0)(x-0)+f(0)
حيث f(0)=0 و f'(0)=-1
ومنه: y=-x معادلة للمماس (∆)

(3) إثبات أن المعادلة f(x) =0 تقبل حلا وحيدا في المجال ]1،2[ :
الدالة f مستمرة ومتزايدة تماما على المجال [1،2] ولدينا:
f(1)=-0,71
و
f(2)=2
أي:
f(1)× f(2) < O
ومنه حسب مبرهنة القيم المتوسطة المعادلة: f(0) =0 تقبل حلا وحيدا α في المجال ]1,2[.

(4) رسم (Cf) :
 تعيين نقط تقاطع (Cf) مع محوري الإحداثيات.